ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА
Простейшим уравнением в частных производных эллиптического типа является уравнение Пуассона
(12.1)
Пусть задана некоторая область D на плоскости, а на ее границе поставлено краевое
условие вида
(12.2)
где — производная в направлении внутренней
нормали,
—
некоторые числа, s — длина дуги, отсчитывается вдоль границы G. Функции
считаются заданными. Требуется найти
численное решение краевой задачи (12.1), (12.2). В случае a = 1, b = 0 возникающая задача
называется первой краевой задачей или задачей Дирихле. В случае
— это вторая краевая задача
или задача Неймана. В случае
— это третья краевая задача. *
Перечисленные краевые задачи являются основными для уравнения Пуассона. Наряду с уравнением Пуассона могут рассматриваться уравнения с переменными коэффициентами следующего вида:
где
для которых также ставится первая,
вторая или третья краевая задача.
Эллиптические уравнения применяются для описания многих стационарных состояний. Так, например, уравнение Пуассона может описывать потенциал электрического поля, потенциал скоростей установившегося потока несжимаемой жидкости, установившуюся температуру в однородном теплопроводном теле. Система уравнений упругости Ляме описывает смещения в находящемся под действием стационарных сил твердом теле и т. д.
Численное решение краевых задач для эллиптических уравнений во многих случаях осуществляется с помощью разностных схем. В простейших случаях, когда решение во всей рассматриваемой области меняется более или менее равномерно, а сама область не имеет узких «перешейков», можно использовать регулярные сетки, а для получения разностных схем заменять производные разностными отношениями.
В противном случае регулярная сетка становится практически непригодной, так как места быстрого изменения решения или места, где область D имеет узкие «горловины», диктуют слишком мелкую сетку. В случае нерегулярной сетки построение разностной схемы путем замены производных разностными соотношениями становится сложной процедурой. В этом случае большое распространение получили так называемые вариационно-разностные и проекционно-разностные схемы. «Прикладники» соответствующие схемы обычно называют методом конечных элементов.
О схемах конечных элементов см. в [1, 11, 16, 32, 43].
Рассмотрим задачу Дирихле для
уравнения Пуассона (12.1) в квадратной области с границей G. Совокупность точек
сетки (где h = 1/M,
M — целое), попавших
внутрь квадрата или на его границу, обозначим
Точки лежащие строго
внутри квадрата D, будем называть внутренними точками сеточного квадрата
Совокупность
внутренних точек обозначим
Совокупность точек
попавших на границу квадрата
D, будем обозначать
Рассмотрим разностную схему
(12.3)
здесь
(12.4)
Правая часть разностной схемы (12.3) принимает
вид
(12.5)
где — значение функции
в точке
принадлежащей границе
Обозначим через проекцию точного решения задачи на
пространство сеточных функций. Например, это может быть сеточная функция,
численно совпадающая с решением задачи в узлах сетки. Определим
Можно
показать, что норма невязки возникающая при подстановке
в левую часть
разностной схемы (12.3) составляет
Таким образом, разностная краевая задача (12.3) аппроксимирует задачу Дирихле со вторым порядком относительно h.
Определим
норму в пространстве функций, заданных на сетке
положив
Перейдем к исследованию устойчивости. Это исследование опирается на следующий факт, представляющий самостоятельный интерес.
Теорема 1. (Принцип максимума). Каждое решение разностного уравнения
достигает своих наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках
Теорема 2. Задача (12.3) однозначно
разрешима при произвольной правой части причем это свойство не зависит от
выбора нормы, и разностная схема (12.3) устойчива, т. е. выполнена
оценка вида
где c не
зависит ни от h, ни от
В случае задачи Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами
(x, y)ÎD,
где
— положительные в прямоугольнике D
гладкие функции, разностную схему можно построить аналогично.
На практике при решении конкретных задач обычно ограничиваются обоснованиями принципиального характера на модельных задачах типа приведенной выше. Конкретные рассуждения о погрешности получаются, как правило, не из теоретических оценок, а из сравнения между собой результатов расчетов, выполненных на сетках с различными значениями шага h.
После того, как разностная краевая задача, аппроксимирующая дифференциальную, построена, нужно указать не слишком трудоемкий способ ее решения. Ведь при малом h задача (12.3) представляет собой систему скалярных уравнений очень высокого порядка.
Численные методы решения систем линейных уравнений большой размерности делятся на две группы: прямые и итерационные. В прямых методах точное решение находится за конечное число арифметических действий. Примерами прямых методов являются метод дискретного преобразования Фурье и метод сопряженных градиентов.
Каждый итерационный метод состоит в том, что при
решении системы уравнений указывается рекуррентное соотношение, которое по
заданному произвольно «нулевому» приближению решения u
позволяет вычислить первое, второе, p-е, p = 1, 2, 3, … приближение
решения u.
В работе для итерационных методов дается наглядная иллюстрация изменения «невязки» решения в зависимости от итерации. Эффективность различных методов (в том числе прямых) можно сравнить по затратам машинного времени (необходимая информация выводится на экране) для достижения заданной точности. В случае итерационных методов вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнена оценка
Здесь u — вектор точного решения, — решение, полученное на p-й
итерации, e — наперед заданное число.
Задача отыскания точного решения не диктуется, как правило, запросами
приложений. В приложениях обычно допустимо использование приближенного решения,
известного с достаточной точностью. Поэтому во многих случаях для вычисления решения
точным методам целесообразно предпочесть тот или иной итерационный метод.
Итерационный процесс должен быть построен так, чтобы последовательность
приближений стремилась
к решению u. Тогда для любого
существует номер
такой, что
. Задавая
достаточно малым,
можно воспользоваться n-м приближением u.
В работе рассматриваются следующие методы:
1) дискретного преобразования Фурье;
2) сопряженных градиентов;
3) простых итераций;
4) трехслойный итерационный метод Чебышева;
5) спектрально эквивалентных операторов.
Предусмотрены возможности сравнения методов по затратам времени ЭВМ и проведения расчетов на различных разностных сетках.
Общие сведения об обусловленности линейных систем см. в справке к работе 4, п. 4.2.
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения (12.1) в квадрате с однородными
граничными условиями. Обозначим через
собственные значения оператора
(см. (12.3)–(12.4))
при однородных граничных условиях. Тогда можно показать, что имеет место
следующая оценка для
где
Легко видеть,
что оператор в
(12.3) при малых h обладает плохой обусловленностью:
Пусть решается задача Дирихле для уравнения Пуассона в единичном квадрате с однородными граничными условиями.
Рассмотрим следующую одномерную задачу на собственные функции и собственные значения:
n = 1, 2, 3, …, M – 1,
Задача имеет следующие решения:
k, n = 1, 2, 3,
…, M – 1,
Зафиксируем m
()
в (12.3)–(12.5).
Тогда
можно разложить
и
по
собственным функциям
n = 1, 2, …, M – 1,
где
а относительно получаем систему
разностных уравнений второго порядка с трехдиагональной матрицей
k = 1,
2, …, M – 1,
решаемую методом прогонки.
Алгоритм
реализации метода Фурье требует арифметических операций. Это число для
больших
(n
— натуральное число) можно значительно сократить до
если применить алгоритм
быстрого преобразования Фурье.
Недостатком изложенного метода является ограниченность области его применимости, предполагающая знание собственных функций и собственных значений одномерной задачи.
В данной работе решается задача Дирихле в прямоугольнике, и решение, полученное методом дискретного преобразования Фурье принимается за точное.
См. лабораторную работу 4, п. 4.4.
См. лабораторную работу 4, п. 4.5
См. лабораторную работу 4, п. 4.7.
См. лабораторную работу 4, п. 4.6.1.
См. лабораторную работу 4, п. 4.6.2.
См. лабораторную работу 4, п. 4.8.
Для решения
системы рассмотрим
итерационный процесс вида
где матрица
Пусть A, B > 0
и матрица A обладает плохой обусловленностью.
Тогда, если удается найти такую матрицу B, что
система уравнений может
быть легко решена, и величина
много меньше, чем число обусловленности матрицы A, то такой итерационный процесс сходится значительно быстрее, чем метод простой итерации.
Так, например, можно при численном решении уравнения эллиптического типа с переменными коэффициентами в качестве матрицы B выбрать матрицу, соответствующую оператору, возникающему при аппроксимации оператора Лапласа. В этом случае матрицу можно обращать, например, методом преобразования Фурье.
О простейших схемах решения эллиптических уравнений см. в [1–4, 27, 32]. О других методах (расщепления, попеременно-треугольных и т. д.) см. книги [16, 17, 40–42, 44, 45]. Там же приводится исследование устойчивости некоторых методов. О вариационно-разностных схемах — в [1, 11, 16, 32, 43].
1. Задайте правую часть уравнения, равную нулю. Получите численно решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа всеми методами и проведите сравнение по их быстродействию.
2. Задавая различные правые части уравнения (12.1), сравните методы решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
1. Доказать, что, если во
внутренних точках области функция
удовлетворяет уравнению
m, n = 1, 2, …, M – 1, Mh = 1,
то, либо принимает всюду на
одинаковые значения,
либо наибольшее и наименьшее значения функции
не достигаются ни в одной внутренней
точке сетки
(усиленный
принцип максимума).
2. Если во
внутренних точках области выполнено условие
причем хотя бы в одной точке
неравенство строгое, то
не достигнет своего наибольшего
значения ни в одной внутренней точке.
3. Рассмотрим разностную схему вида
Эта разностная схема аппроксимирует задачу
(x, y)ÎD;
x = 1, y = 0; 1;
x = 0.
а) Доказать, что при любых
задача
имеет единственное решение.
б) Доказать,
что если неотрицательно,
а
не положительны, то
не положительно.
в) Доказать, что при любых
имеет место оценка вида
C — некоторая постоянная, не зависящая от величины шага h. Найти C.