ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Введение

В этой работе Вы познакомитесь с итерационными методами решения нелинейных уравнений. Предусматривается возможность на характерных примерах рассмотреть и сравнить различные численные методы решения нелинейных уравнений. Сравнение проводится по числу итераций и затратам времени ЭВМ.

В предложенной работе используются следующие методы решения нелинейных уравнений:

1) метод простой итерации;

2) метод Ньютона;

3) метод секущих.

Первые два метода можно перенести на системы нелинейных алгебраических уравнений, а также на уравнения в произ­вольных метрических пространствах.

2. Теоретическая справка

Нелинейные уравнения и системы уравнений решаются с применением итерационных методов. Итерационные методы (их называют также методами последовательных приближений) состоят в том, что решение  находится как предел последовательных приближений  при числе итераций n, стремящемся к бесконечности. Обычно задаются числом  > 0 и вычисления проводят до тех пор, пока не будет выполнена в норме оценка

Так как точное решение  неизвестно, то это условие на практике часто заменяют лишь необходимым, но легко проверяемым условием

Выполнение этого «условия сходимости» еще не гарантирует, что заданная точность достигнута.

Текущее значение  на экране монитора при выполнении работы называется термином «погрешность». Такое название является условным, так как на самом деле погрешностью является

При решении нелинейных уравнений возникают две задачи: указание областей, в которых находится по одному решению (задача локализации корней), и задача отыскания корней с заданной точностью (задача уточнения корней). Для локализации корней не существует общих приемов. Можно использовать построение графиков функции, отыскание участков ее монотонности, участков на которых функция меняет знак, и другие частные приемы.

2.1. Метод простой итерации

Пусть известно, что интересующий нас корень  уравнения  лежит в интервале  Приведем уравнение  к равносильному уравнению вида  на интервале  таком, что  Можно положить

где  Такой вариант метода простых итераций иногда также называют методом релаксации. Для отыскания решения  принадлежащего интервалу Y, зададим  а затем вычислим последующие  по формуле

       n = 0, 1, 2, …                                                    (5.1)

Теорема 1. Пусть функция  непрерывна и итерационный процесс (5.1) сходится к значению  Тогда  — корень уравнения

Теорема 2. Пусть функция  имеет производную во всех точках области U (т. е. интервала ), и пусть существует q,   такое, что  всюду в U. Тогда существует такая окрестность корня, что при любом  из этой окрестности метод простых итераций сходится, причем имеет место оценка:

           n > 0.

Замечание. Практический смысл теоремы 2 заключается в следующем. Она утверждает, что существует такое достаточно мелкое разбиение U, при котором любая из точек одного из элементов разбиения может быть выбрана как  При таком выборе начального приближения итерационный процесс с необходимостью сходится. Таким образом, поиск начального приближения, при котором итерационный процесс сходится, можно передать машине. При этом для погрешности  на каждой итерации выполнена оценка

       n = 1, 2, …

2.2. Метод Ньютона

Пусть приближение  к корню  уравнения  уже найдено. Воспользуемся приближенной формулой

точность которой возрастает при приближении  к  Вместо исходного уравнения  воспользуемся линейным уравнением

Решение этого уравнения примем за приближение

           n = 0, 1, 2, …              (5.2)

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию (рис. 5). График функции  заменяется касательной к нему в точке  За приближение  принимается точка пересечения полученной прямой с осью абсцисс.

Text Box:  
Рис. 5
Формулу (5.2) можно интерпретировать как метод простой итерации с функцией  В точке корня  уравнения  выполняется равенство  поэтому неравенство  верно для любого положительного фиксированного значения q в достаточно малой окрестности корня.

Следовательно, асимптотически последовательность погрешностей  метода Ньютона убывает быстрее последовательности членов геометрической прогрессии. Справедлива теорема о квадратичной сходимости метода Ньютона.

Теорема 3. Пусть функция  задана на интервале

         

и удовлетворяет следующим условиям:

1)  дважды непрерывно дифференцируема на этом интервале;

2) для всех точек интервала  и существуют конечные значения

            

3) уравнение  имеет корень x:

где

Тогда для любого значения

итерационный процесс сходится к x, причем

На практике более привлекательна такая формулировка условий сходимости метода Ньютона, для которой не нужна никакая информация о решении уравнения. Примером формулировки может служить следующая теорема.

Теорема 4. Пусть функция  определена и дважды непрерывно дифференцируема на интервале  (> 0). Пусть также   существует конечное значение  и

                         

Тогда итерации процесса Ньютона сходятся к некоторому решению уравнения x, для погрешности справедлива оценка

2.3. Метод секущих

Зададим начальные значения  и  Последующие значения  вычисляем по формуле

          n = 1, 2, …,

где

Text Box:  
Рис. 6
Метод секущих является разностным аналогом метода Ньютона. Он применяется в тех случаях, когда вычисление производной  является затруднительным.

Геометрическая интерпретация метода секущих состоит в следующем. Через две точки  и  проводится прямая. Абсцисса точки пересечения полученной таким образом прямой с осью х и является новым приближением  к решению нелинейного уравнения (см. рис. 6).

2.4. Мера погрешности

Условием окончания итерационного процесса является выполнение одного из двух условий (выбор условия определяется соответствующим пунктом меню):

           или           

Значение будем называть мерой погрешности.

Следует заметить, что выполнение условия сходимости не гарантирует, что последнее приближение  находится достаточно близко от корня.

В настоящей работе сходимость итерационного процесса фиксируется следующими способами: сходимость по аргументу и сходимость по функции.

2.5. Сходимость по аргументу

Считается, что итерационный процесс сошелся, если выполнено условие

где — мера погрешности.

2.6. Сходимость по функции

Считается, что итерационный процесс сошелся, если выполнено условие

2.7. Библиографическая справка

Итерационным методам решения нелинейных уравнений и систем посвящена обширная литература. Для выполнения работы вполне достаточно ознакомиться с основными идеями и теоремами по книгам [1–3]. Более полные сведения о методе можно получить из [8–10, 22], см. также [23] и библиографию в ней.

С итерационными методами решения нелинейных систем тесно связаны различные дискретные отображения. О них лучше прочитать в [24, 25], а на более серьезном уровне в [26].

3. Задание

1. Решите уравнение  методом Ньютона. Как изменится характер сходимости с увеличением номера корня?

2. Покажите, что для решения методом Ньютона следующих уравнений за  можно принять любое положительное число:

1) 

2) 

Решите предложенные уравнения численно.

3. Отделите корни следующих уравнений, а затем уточните один из них с помощью итерационного процесса:

1)              2) 

3)                     4) 

4. Уравнение

зависит от времени t. Предложите итерационный алгоритм отыскания положения этих корней в зависимости от времени t за время от t = 0 до t = 1.

Выясните, при каком значении t эволюция отрицательного корня заканчивается его исчезновением.

5. Решите каждое уравнение различными методами с точностью до  и сравните их по эффективности. Объясните полученный результат.

1) 

2) 

3) 

4) 

5)  при x > 0.

6. Методом Ньютона найдите корень уравнения  с точностью до  Рассмотрите отдельно критерии сходимости по функции и по аргументу. Сравните результат и число итераций, требуемое для сходимости.

4. Контрольные вопросы

1.      Требуется найти оба корня уравнения

1.1.   Покажите, что для отыскания положительного корня можно воспользоваться итерационным процессом  где  —произвольно.

1.2.   Можно ли указать  не совпадающее с отрицательным корнем заданного уравнения, таким образом, чтобы итерационный процесс  сходился к отрицательному корню?

1.3. Предложите способ вычисления отрицательного корня.

2.    Выпишите формулы подходящего способа последовательных приближений для нахождения положительного корня нелинейного уравнения:

Оцените необходимое число итераций для достижения точности  и сравните с тем числом, которое Вы получили при расчетах на ЭВМ.

3.      Пусть уравнение  где  и  — заданные функции, решается методом Ньютона. Покажите, что приближение  имеет геометрический смысл абсциссы точки пересечения касательных к графикам  и  проведенным при

4.      Пронумеруем корни  где  уравнения  в порядке возрастания. Покажите, что при решении уравнения  методом Ньютона, итерации сходятся к корню  если за  принять число